هندسه بعد چهارم یا هندسه طبیعت

بنوا مندل‌برو (1389‌‌ـ‌1303) پدر هندسه فراكتالی، مبدع واژه فراكتال و كاشف مجموعه مندل‌برو است كه تقریبا مادر تمام فراكتال‌ها محسوب می‌شود.

مندل‌برو در نوجوانی، آموزش و تعلیمات رسمی‌ منظمی‌كسب نكرد و به گفته خودش هیچ‌گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابی فرا بگیرد، اما در عین حال در برخی حوزه‌های زبان‌شناسی، نظریه بازی‌ها و احتمالات، دانش هوانوردی ، مهندسی ، علم اقتصاد، فیزیولوژی، جغرافیا، نجوم و صد البته فیزیك كارشناس و خبره بود.

مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاریخ علم نیز بود و از همه مهم‌تر جزو نخستین ریاضیدانان جهان به لحاظ دسترسی به رایانه‌های پر سرعت محسوب می‌شود.

بنوا مندل‌برو كشفیات بزرگ خود را با سرپیچی و تمرد از قدرت حاكم زمانه یا همان ریاضیات آكادمیك صورت داد. در گذشته، علوم و ریاضیات بر محور نظام‌های محدودی در سه بعد نخست یا همان خط، سطح و فضا دور می‌زدند كه ظاهرا با جهان واقعی و مختصاتش كه بعد چهارم گفته می‌شد میانه‌ای نداشتند.

در حقیقت ما در بعد چهارم یا پیوستار فضا زمان زندگی می‌كنیم. گرچه از زمان اینشتین به بعد بود كه فهمیدیم حتی بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلی برای واقعیت می‌تواند باشد، اما پس از مندل‌برو بود كه تازه متوجه شدیم بعد چهارم واقعا چیست و چگونه به نظر می‌رسد و از چهره فراكتالی آشوب و بی‌نظمی‌ باخبر شدیم؛ كسی كه چهره اصلی نظریه‌پردازی آشوب در زمانه ما محسوب می‌شود.

تحقیقات مندل‌برو نهایتا به دستاورد بزرگی منجر شد كه در یك فرمول ساده ریاضی خلاصه می‌شود. این فرمول كه امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل‌برو نامیده می‌شود و برخی آن را بزرگ‌ترین كشف ریاضیات قرن بیستم می‌دانند یك حساب دینامیك و پویا بر اساس تكرار اعداد مركب با صفر به عنوان نقطه شروع است.

فرمول مندل‌برو خلاصه‌ای از درك و بینش‌های بسیاری است كه مندل‌برو از هندسه فراكتال طبیعت یا همان جهان واقعی بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل‌برو در تضاد آشكار با جهان آرمانی اشكال اقلیدسی بعدهای اول تا سوم است كه دغدغه خاطر تقریبا تمامی ‌ریاضیدانان پیش از مندل‌برو بوده است.

در جایی كه هندسه اقلیدسی پیرامون كمال مطلق تقریبا ناموجودی در طبیعت دور می‌زد و سعی داشت همه اشیا و مظاهر طبیعی را از دریچه تنگ نظم و ترتیب مجسم كند و قاعدتا از توصیف واقعی شكل یك ابر، كوه، خط ساحلی یا حتی یك درخت ناتوان بود.

مندل‌برو در كتاب هندسه فراكتال طبیعت (1362) خود می‌گوید: «ابرها كروی نیستند، كوه‌ها مخروط نیستند، خطوط ساحلی مدور نیستند، پوست درخت صاف نیست و رعد و برق نیز خط سیر مستقیمی‌ ندارد.»

پیش از مندل‌برو، ریاضیدانان بر این باور بودند كه پیچیدگی، بی‌قاعدگی، بخش بخش شدگی و بی‌نظمی ‌اكثر الگوهای طبیعت فراتر از آن است كه بتوانند به لحاظ ریاضیاتی توصیف و تبیین شوند. اما مندل‌برو، هندسه فراكتالی جدیدی از طبیعت را بر اساس بعد چهارم و اعداد مركب درك و توسعه بخشید كه قادر به توصیف ریاضیات بی‌نظم‌ترین اشكال جهان واقعی است.

به گفته خودش هندسه فراكتالی صرفا فصلی از كتاب ریاضیات نیست، بلكه موهبتی از دانش ریاضیات است كه امكان مشاهده متفاوت یك جهان را برای همگان فراهم می‌آورد.

مندل‌برو ثابت كرد بعد چهارم شامل ابعاد كسری می‌شود كه بین سه بعد نخست قرار دارد و این مفهوم ابعاد بینابینی یا حد فاصل ابعاد را بعدهای فراكتالی نامید.

وی واژه فراكتال را بر اساس صفت لاتین فركتوس نامگذاری كرد كه با فعل لاتین فرنجر به معنی شكستن و خرد كردن متناظر بود و مفهوم ایجاد بخش‌های نامنظم و نامرتب را تداعی می‌كرد.

مندل‌برو به لحاظ ریاضیاتی و گرافیكی نشان داده است طبیعت برای ایجاد اشكال مختلط و بی‌نظم و قاعده جهان واقعی چگونه از بعدهای فراكتال استفاده می‌كند. یك فراكتال به عنوان فرمی ‌هندسی دارای اشكال نامنظم است، اما در بطن این تصاوير بی‌قاعده و نامنظم، نظمی ‌پنهان وجود دارد.

این نظم پنهان در بی‌نظمی‌ در اصل تكرار پشت سر هم نسخه‌های شبيه به هم از شكل كلی است كه ظاهرا به چشم نمی‌آید، ولی زمانی كه بخش كوچكی از یك شكل نامنظم كلی همانند كوه را از نزدیك مشاهده می‌كنیم، با نسخه تكرار شده مشابهی از شكل كلی كوه در مقیاس كوچك‌تر مواجه می‌شویم و هر چه نزدیك‌تر شویم باز هم همان شكل را در مقیاسی خردتر می‌بینیم و این تسلسل تا بی‌نهایت می‌تواند ادامه داشته باشد.

مي‌توان در هر جایی از طبیعت یا در واقع دنیای زیگزاگ طبیعت فراكتال‌ها و خود تشابهی را با هر مقیاسی سراغ گرفت. اين واقعيت زيبا در هر برف دانه، هر خدنگ رعد وبرق، هر درخت، هر شاخه و حتی در دستگاه گردش خون با رگ‌هایش و خلاصه از صدف دریا گرفته تا كهكشان‌های مارپیچ به چشم می‌خورند.